「0.99999…=1」???

 

小数の0.99999999…は小数点第一位以下に９が続く、循環小数といいます。

この9をずっと続けていくと、自然数である1にどんどん近づいていきます。

このとき0.99999999999…=1としていいのでしょうか？

今回はこのことについて見ていきたいと思います。

循環小数を用いて証明

1÷9を計算してみましょう。

$$\frac{1}{9}=0.1111111…$$

と小数第一位以下1がずっと続きます。

ここで両辺で9をかけると、

$$\frac{1}{9}×9=0.1111111…×9$$

$$1=0.9999999…$$

となり、0.999…＝1であることが分かります。

計算の順序を変えて証明する

まず\((1÷9)×9\)を計算してみましょう。（　）の中を先に計算するルールでしたね。

$$(1÷9)×9=(0.111…)×9=0.999…$$

となります。今度は÷と×を交換した式\((1×9)÷9\)を考えてみましょう。

$$(1×9)÷9=9÷9＝1$$

となります。

かけ算と割り算は計算の順番を交換しても、答えは変わりませんので、

上の式と下の式の結果、どちらも正しいと言えます。

つまり0.999…＝1であることが分かります。

方程式を使った証明

方程式を使って考えてみましょう。まず\(x=0.9999…(1)\)とおきます。

方程式の両辺を10倍して、

$$10x=9.999999…(2)$$となります。

(2)式から(1)式を引いてみましょう。

左辺は\(10x-x=9x\)

右辺は\(9.999…-0.999…=9\)となるので

$$9x=9$$ですね。両辺を9で割ると

$$x=1$$

となります。（x=0.999…でしたね!）

級数を使った証明

これは一番難しい証明です。高校生の内容ですので、読み飛ばしてもらってもOKです(^^)

まず\(0.999…\)を小数第一位、第二位、第三位…（以下同様）に区切って分けていきます。

$$0.999…=0.9+0.09+0.0009+0.00009…$$

$$0.999…=0.9+0.9×0.1+0.9×(0.1)^2+0.9×(0.1)^3…$$

となります。

この式は、初項0.9，公比0.1の無限等比級数の和になっています。

 

まとめ

色々な証明がありましたが、いかがでしたでしょうか？

（無限）小数が整数に等しくなるとは、何だか不思議な感じがしますね。