１から１００まで足すたすといくらになりますか？
式で表すと
1+2+3+4+5+…＋98+99+100
という計算です。
一見するととても大変そうな計算です。
普通に計算すれば99回の足し算になりますね^^;
今回は18世紀のドイツの数学者ガウス（ヨハン・カール・フリードリヒ・ガウス）はこの計算を１０歳のときに瞬時に計算したといわれています。
瞬時に計算したとはいえ、99回計算したわけではありません。
やはり理屈がありです！
ガウスは出題者の数学の先生にこう答えました。
\(1+2+3+…＋98+99+100\)
\(=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…(49+52)＋(50+51)\)
\(=101+101+101+…101＋101\)
\(=101×50\)
\(=5050\)
ん？どゆこっちゃ？という声が聞こえてきそうですね(^^)
ガウスは「前後交互に、数字をたすと101になる組み合わせ」に注目しました。
そのとき、101となるものの個数は100の半分の50である。
着眼点が素晴らしいですね。
数学の先生も驚いたといわれています。
もしこの説明が分かりにくれば、
数を少なくして、もう少し単純に考えましょう。
例えば1～10までの和は
\(1+2+3+…＋10＝55\)
ですが、これも前後交互に足していき
\((1+10)+(2+9)+(3+8)＋(4+7)+(5+6)\)
\(11+11+11+11＋11\)
\(11×5＝55\)
前後交互に足すと11になり、11になる組は10の半分の5になるという事ですね。
このことは高校でも習う数列の等差数列の和の公式になっています。
少し難しくなりますが、興味のある方は読んでみてください。
等差数列の和の公式
自然数：\(ｎ\)のとき
$$1+2+…＋(n-1)＋ｎ$$
$$=\frac {n(n+1)}{2}$$
いきなりｎが出てきて、意味不明という感じですね。
ｎは一般的な数字を表す数字です。
ｎが100のときは、1から100までの和という意味になります。
数学ではこのように数字を一般的に表して公式化でいるかを考えます。
数字が100ではなくnになっていますが、
前後交互に足していってみてください。
\(1+2+…＋(n-1)＋ｎ\)
\(=(n+1)+(n+１)+…＋(n+1)×\frac {n}{2} \)
となっています。
１から100までのときと、計算の仕方は同じです。
天才ガウスが、わずか10歳でこの公式の本質を見抜いていたということは、
驚きでしかないですね！
コメント